Equação Reduzida e Equação Normal da Circunferência: Equaçao Reduzida E Equaçao Normal Da Circunferencia Exemplos E Exercicios
Equaçao Reduzida E Equaçao Normal Da Circunferencia Exemplos E Exercicios – A compreensão das equações da circunferência, tanto na forma reduzida quanto na normal, é fundamental para a geometria analítica. Ambas as formas descrevem a mesma figura geométrica – um círculo – mas oferecem perspectivas diferentes e vantagens em diferentes situações. Neste artigo, exploraremos detalhadamente cada forma, suas deduções, aplicações e exercícios práticos, embarcando numa jornada fascinante pelo mundo das equações e suas representações geométricas.
Prepare-se para desvendar os segredos por trás dessas equações e dominar suas aplicações!
Introdução à Equação Reduzida e Equação Normal da Circunferência
A equação reduzida e a equação normal da circunferência são duas maneiras diferentes de representar algebricamente um círculo no plano cartesiano. Cada uma delas destaca informações específicas, facilitando a análise e a resolução de problemas geométricos.
Equação Reduzida da Circunferência: Esta equação, (x – a)² + (y – b)² = r², representa uma circunferência com centro (a, b) e raio r. Sua elegância reside na facilidade com que se extrai o centro e o raio diretamente da equação. Por exemplo, a equação (x – 2)² + (y + 1)² = 9 representa uma circunferência com centro em (2, -1) e raio 3.
A aplicação direta desta forma é ideal para problemas onde o centro e o raio são conhecidos previamente.
Equação Normal da Circunferência: A equação normal, x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0, oferece uma representação mais geral. Embora não revele diretamente o centro e o raio, ela permite calcular essas informações através das relações: centro (-g, -f) e raio √(g² + f²
-c). Considere, por exemplo, a equação x² + y²
-4x + 6y – 3 = 0.
Aqui, o centro é (2, -3) e o raio é √(4 + 9 + 3) = 4. Esta forma é útil quando as informações sobre a circunferência são fornecidas de maneira indireta, como através de três pontos pertencentes à circunferência.
A principal diferença reside na apresentação direta das informações. A equação reduzida exibe explicitamente o centro e o raio, enquanto a equação normal requer cálculos adicionais para obtê-los. A escolha entre uma e outra depende do contexto do problema. A equação reduzida é mais intuitiva e prática quando o centro e o raio são dados, enquanto a equação normal é mais versátil para situações em que apenas pontos da circunferência são conhecidos.
| Característica | Equação Reduzida (x – a)² + (y – b)² = r² | Equação Normal x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0 |
|---|---|---|
| Centro | (a, b) | (-g, -f) |
| Raio | r | √(g² + f² – c) |
| Forma da Equação | Direta, centro e raio explícitos | Implícita, centro e raio obtidos por cálculo |
Dedução das Fórmulas, Equaçao Reduzida E Equaçao Normal Da Circunferencia Exemplos E Exercicios
A dedução de ambas as equações se baseia na definição geométrica de uma circunferência: o conjunto de todos os pontos equidistantes de um ponto fixo (o centro).
A dedução da equação reduzida parte da distância entre um ponto genérico (x, y) na circunferência e o centro (a, b), que deve ser igual ao raio r. Aplicando o teorema de Pitágoras, chegamos diretamente à equação (x – a)² + (y – b)² = r².
A dedução da equação normal envolve um processo um pouco mais elaborado, mas igualmente fundamentado na definição geométrica. A partir da equação reduzida, através de manipulações algébricas, podemos chegar à forma x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0.
Dedução da Equação Reduzida: Distância entre (x, y) e (a, b) = r. Aplicando a fórmula da distância: √[(x – a)² + (y – b)²] = r. Elevando ao quadrado, obtemos (x – a)² + (y – b)² = r².
Dedução da Equação Normal: Expandindo a equação reduzida e reorganizando os termos, chegamos à forma geral: x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0, onde g = -a, f = -b, e c = a² + b²
-r².
A equivalência entre as duas equações é demonstrada pela possibilidade de transformar uma na outra através de manipulações algébricas, como demonstrado na dedução acima. Um exemplo numérico reforça essa equivalência: a circunferência com centro (1, 2) e raio 3, representada na forma reduzida como (x – 1)² + (y – 2)² = 9, pode ser expandida para a forma normal x² + y²
-2x – 4y – 4 = 0.
Exemplos de Aplicações
A aplicação das equações da circunferência é vasta, abrangendo diversos problemas de geometria analítica. A seguir, apresentamos exemplos práticos, ilustrando a resolução passo a passo.
Exemplos com a Equação Reduzida:
- Encontre a equação da circunferência com centro (1, 3) e raio
2. Resolução
Substituindo os valores na equação reduzida, temos (x – 1)² + (y – 3)² = 4.
- Determine o centro e o raio da circunferência representada por (x + 2)² + (y – 1)² =
25. Resolução
O centro é (-2, 1) e o raio é 5.
- Verifique se o ponto (4, 2) pertence à circunferência (x – 1)² + (y – 3)² =
13. Resolução
Substituindo as coordenadas do ponto na equação, obtemos (4 – 1)² + (2 – 3)² = 10, que é diferente de 13. Portanto, o ponto não pertence à circunferência.
Exemplos com a Equação Normal:
- Determine o centro e o raio da circunferência x² + y²6x + 4y – 12 =
0. Resolução
Comparando com a forma normal, temos g = -3, f = 2, c = -12. O centro é (3, -2) e o raio é √(9 + 4 + 12) = 5.
- Encontre a equação da circunferência com centro (0, 0) que passa pelo ponto (3, 4). Resolução: O raio é a distância da origem ao ponto (3, 4), que é 5. A equação é x² + y² = 25.
- Determine se a circunferência x² + y² + 2x – 4y + 1 = 0 passa pela origem (0,0). Resolução: Substituindo x = 0 e y = 0 na equação, obtemos 1 = 0, o que é falso. Portanto, a circunferência não passa pela origem.
Passos para determinar o centro e o raio:
- Equação Reduzida: O centro (a, b) e o raio r são diretamente obtidos da equação (x – a)² + (y – b)² = r².
- Equação Normal: O centro é (-g, -f) e o raio é √(g² + f²
-c), onde os coeficientes g, f e c são obtidos da equação x² + y² + 2gx + 2fy + c = 0.
Exercícios Resolvidos
A prática é fundamental para consolidar o aprendizado. A seguir, apresentamos exercícios resolvidos que abrangem diferentes aspectos das equações da circunferência.
Exercícios com a Equação Reduzida:
- Determine a equação da circunferência com centro (2, -1) e raio 4.
- Encontre a equação da circunferência com centro na origem e raio 5.
- Determine o centro e o raio da circunferência (x + 3)² + (y – 2)² = 16.
- Verifique se o ponto (1, 1) pertence à circunferência (x – 2)² + (y + 1)² = 4.
- Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos (1,1), (1,5), e (5,1).
Exercícios com a Equação Normal:
- Determine o centro e o raio da circunferência x² + y²
4x + 6y – 3 = 0.
- Encontre a equação da circunferência com centro (1, -2) e que passa pelo ponto (4, 1).
- Determine o centro e o raio da circunferência x² + y² + 2x – 8y + 8 = 0.
- Verifique se a circunferência x² + y²
6x + 4y + 9 = 0 passa pelo ponto (3,0).
- Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos (0,0), (4,0), e (0,4).
Exercícios Propostos
Para testar seus conhecimentos, proponho os seguintes exercícios, com níveis de dificuldade variados.
Exercícios com a Equação Reduzida:
- Determine a equação da circunferência com centro (-1, 2) e raio 3.
- Encontre a equação da circunferência com centro (0, -3) e raio 2.
- Determine o centro e o raio da circunferência (x – 4)² + (y + 1)² = 9.
- Verifique se o ponto (0, 0) pertence à circunferência (x + 2)² + (y – 1)² = 5.
- Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos (2, 0), (4, 0), e (3, 1).
Exercícios com a Equação Normal:
- Determine o centro e o raio da circunferência x² + y² + 6x – 2y – 15 = 0.
- Encontre a equação da circunferência com centro (-2, 3) e que passa pelo ponto (1, 0).
- Determine o centro e o raio da circunferência x² + y²
4x + 10y + 13 = 0.
- Verifique se a circunferência x² + y² + 2x – 6y + 6 = 0 passa pelo ponto (1, 2).
- Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos (1, 1), (3, 1), e (2, 2).
Circunferências Especiais
Algumas circunferências apresentam características especiais, simplificando suas equações.
Circunferências com centro na origem: Neste caso, a equação reduzida se simplifica para x² + y² = r², onde r é o raio. Por exemplo, x² + y² = 16 representa uma circunferência com centro na origem e raio 4.
Circunferências tangentes aos eixos coordenados: Se a circunferência é tangente ao eixo x e ao eixo y, o raio é igual ao valor absoluto da coordenada x ou y do centro, que é também o valor absoluto da coordenada y ou x do centro, respectivamente. Se o centro está no primeiro quadrante, por exemplo, (r, r), a equação reduzida é (x – r)² + (y – r)² = r².
Se o centro está no segundo quadrante, (-r, r), a equação reduzida é (x + r)² + (y – r)² = r². A equação varia dependendo do quadrante onde o centro se situa.
Um diagrama ilustraria as diferentes posições de circunferências especiais: uma circunferência com centro na origem (0,0) seria representada como um círculo perfeitamente simétrico em relação aos eixos x e y. Uma circunferência tangente aos eixos coordenados no primeiro quadrante, por exemplo, seria um círculo que toca os eixos x e y em um único ponto cada, com o centro equidistante dos dois eixos.
Circunferências em outros quadrantes apresentariam similaridades, mas com posições alteradas.
O que acontece se o raio da circunferência for zero?
Se o raio for zero, você não tem uma circunferência, mas sim um ponto – o centro da circunferência.
Como identificar se uma equação representa uma circunferência?
A equação deve ser do segundo grau em x e y, com coeficientes de x² e y² iguais e positivos, e sem termo xy.
Existe uma equação geral da circunferência?
Sim, a equação geral é x² + y² + Ax + By + C = 0, onde A, B e C são constantes. A partir dela, podemos encontrar a equação reduzida completando quadrados.